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Equazione di stato dei gas

Come sappiamo l'aria è un gas e come per tutti i gas il suo stato termodinamico che, lo ricordiamo, è rappresentato dalla densità ρ, dalla pressione P e dalla temperatura T, può essere espresso con una legge molto famosa in fisica e in chimica: la "Legge di stato dei gas perfetti".


Si tratta di una forma semplificata, valida sotto opportune ipotesi (molecole dell'aria considerate puntiformi e non interagenti fra loro se non tramite urti perfettamente elastici, cioè senza perdita di energia). Naturalmente un gas reale non è così, ma si può verificare che l'errore che si commette è trascurabile nella maggior parte dei casi. Ma entriamo più in dettaglio.

Sappiamo che la pressione P è causata in ultima analisi dal movimento delle molecole e quindi ci si aspetterà una pressione maggiore ove ve ne siano di più (cioè dove è maggiore la densità ρ) e qualora esse si muovano più velocemente in termini di energia cinetica (cioè quando la temperatura T è maggiore). Ebbene, la relazione che lega queste tre grandezze è chiamata "Equazione di stato". Fluidi differenti possiedono equazioni di stato differenti, secondo le loro proprietà molecolari.

Per l'aria secca, i gas che compongono l'atmosfera (e sotto le ipotesi semplificative di cui si è accennato all'inizio del presente capitolo) soddisfano la seguente legge ideale dei gas:

PV = nRT

dove P e T hanno il già noto significato e V è il volume di aria considerato; n = numero di moli (1 mole è quella quantità di una qualunque sostanza il cui peso in grammi è numericamente identico al suo peso molecolare, a sua volta pari alla somma dei pesi atomici che compongono le molecole); R è costante e vale 8,318 J · mole-1 · K-1.

Dalla definizione di mole si arguisce che n = m/M (m = massa dell'aria in grammi ed M = peso molecolare dell'aria, che è circa 29). Si può scrivere PV = (m/M) RT, ma R/M è costante ed è pari (sempre per l'aria secca) a 287.053 J/K kg e la chiameremo Rd ("d" sta per dry, cioè secco, asciutto). Poichè ρ = m/V si ottiene:

P = ρ Rd T

Per l'aria umida la costante Rd è diversa (avremo cioè una Rw ("w" sta per wet, umido)). In particolare il vapore acqueo è meno denso dell'aria secca. Per semplificare le cose e tenere conto anche dell'effetto della presenza del vapore acqueo, si introduce la cosiddetta "Temperatura virtuale" Tv definita come:

Tv = T · (1 + 0.61 · r)

dove r = gwv/gd (il pedice "wv" sta per "water vapor") è il cosiddetto "Rapporto di mescolanza", di cui parleremo in un prossimo capitolo, e rappresenta il rapporto fra la massa di vapore contenuto nel volume d'aria considerato e la massa d'aria secca contenuta nello stesso volume. Come T anche Tv è espressa in K (Kelvin).

In sostanza Tv è un parametro il quale ci dice che una massa d'aria umida avente temperatura T equivale ad una massa d'aria secca avente temperatura Tv. Questa semplificazione relativa alla presenza di vapore acqueo è molto utile, in quanto mentre la composizione dell'aria secca nella troposfera è piuttosto omogenea, il vapore acqueo ha una concentrazione estremamente variabile da un punto all'altro e può cambiare nel tempo, secondo le zone. Quindi possiamo sempre immaginare di avere a che fare con aria secca (e considerare pertanto sempre Rd = 287) avendo però l'accortezza di usare Tv come temperatura, qualora l'aria sia in realtà umida.


E se nell'aria, oltre al vapore, è presente anche acqua liquida (ad esempio sottoforma di goccioline di nebbia o nubi)? In questo caso, nella definizione della temperatura virtuale, possiamo includere il "carico di acqua liquida", cioè in pratica il suo peso, e scrivere

Tv = T · (1 + 0.61 · r - rL)

dove rL = gL/gd. Qui gd ha lo stesso significato di prima, ma gL = massa di acqua liquida.

In definitiva all'atmosfera possiamo applicare l'equazione di stato dei gas perfetti nella sua forma più generale:

P = ρ Rd Tv


Per concludere facciamo alcuni esempi pratici:

1) Qual è la temperatura media standard per l'aria secca corrispondente alla pressione e alla densità standard?
Sappiamo che P = 101325 Pa, ρ = 1.225 kg/m3, quindi T = P/(ρ · Rd) = 101325/(1.225 · 287) = 288.2 K = 15°C.
2) Ci troviamo in un ambiente tropicale, con aria non satura a 35°C e con 30 g di vapore per ogni kg di aria secca (cioè r = 30gr/1000gr = 0.03 gwv/gd). Qual è la temperatura virtuale?
Si ha Tv = T · (1 + 0.61 · r) = 308.15 · (1 + 0.61 · 0.03) = 313.6 K = 40.6°C.

Pertanto in questo caso l'umidità riduce la densità dell'aria di una quantità pari a quella che produrrebbe un aumento di 5.6°C di temperatura se l'aria fosse secca.

Considerazioni conclusive: la legge appena vista che descrive il legame fra i parametri termodinamici di pressione, densità e temperatura, pur nella sua semplicità e approssimazione è una "pietra miliare" di tutte le discipline che trattano sostanze allo stato aeriforme. Assieme all'equazione dell'equilibrio idrostatico ci permette di spiegare per quale ragione le particelle d'aria diventano più fredde salendo di quota, fenomeno fondamentale per giustificare i processi di condensazione e formazione delle precipitazioni. La temperatura virtuale ci aiuta a tenere conto della presenza del vapore acqueo in molte equazioni e a definire i fenomeni di galleggiamento e la formazione delle nubi.