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Pillole di Matematica: divisione tra numeri interi relativi e nascita delle frazioni

Pillole di Matematica: divisione tra numeri interi relativi e nascita delle frazioni

I numeri razionali: rapporto tra interiQuando abbiamo introdotto i numeri interi e i numeri interi relativi (cioè anche con segno), abbiamo sempre evidenziato il fatto che, nel campo di tali numeri, alcune operazioni non si potevano svolgere. Ci siamo accorti però che la sottrazione si è potuta ritenere sempre valida quando abbiamo avuto bisogno di introdurre anche i numeri interi relativi. Allo stesso modo, non si poteva dividere un intero con un altro intero, senza che quest'ultimo fosse un sottomultiplo del primo. Eppure ci sono situazioni in cui è necessario anche rappresentare solo "parti" di un "tutto". Come il classico caso della torta: se la "divido" in 5 parti uguali e me ne prendo una fetta ecco che evidentemente ho preso 1 parte delle 5. Oppure potrei dire che "1" torta l'ho divisa in "5" parti uguali. In entrambi i casi si suole scrivere 1/5, oppure 1:5.

In generale scriveremo a/b o a:b, con a e b numeri interi relativi e dove a si chiama numeratore, mentre b denominatore. Questi rapporti si chiamano frazioni e siccome "ratio" significa "rapporto", questi numeri si chiamano anche "razionali" e il loro insieme si indica con Q. Vediamo ora come funzionano le 4 operazioni aritmetiche e le potenze, sempre con l'obiettivo di mantenere valide le proprietà di cui già godevano i numeri interi (commutativa, associativa, distributiva, ecc...).

- Moltiplicazione di frazioni. Se moltiplico una frazione a/b per un intero n, come sempre significa prendere n volte il numero, cioè n volte a/b. Tornando alla torta, abbiamo detto che se ne prendo una fetta sulle 5 presenti, ho preso 1/5 di torta. Ma la torta è squisita e faccio il bis e allora avrò preso 2 volte una fetta e quindi 2 fette su 5, cioè 2/5. Poi non mi importa della linea e faccio il tris! Alla fine avrò preso 3 volte una fetta delle 5 presenti e quindi 3/5. E se moltiplico una frazione a/b per un'altra frazione c/d? Beh supponiamo di avere 1/4 x 3/5, cioè (1:4) x (3:5). In questo caso vuol dire prendere 1 porzione da 1/4, dividerla in 5 parti uguali (e abbiamo 1/20 perché se 1/4 di torta la divido in 5 pezzettini, in totale avrò 5*4=20 pezzettini in cui è divisa la torta). Di questi pezzettini da 1/20 ne devo prendere però 3 e così ottengo 3/20. Come si vede questo non è altro che il risultato che si ottiene moltiplicano tra loro i numeratori e tra loro i denominatori, cioè (a/b) x (c/d) = (axc) / (bxd).

Osservazione 1. Siccome dividere per 1 lascia invariato qualunque numero, evidentemente un numero intero può sempre pensarsi come una frazione al cui denominatore c'è 1. Cioè n = n/1.
Osservazione 2. Si nota subito che se si moltiplicano numeratore e denominatore per uno stesso numero la frazione che ne deriva sembra apparentemente diversa quando invece rappresenta lo stesso numero. La cosa è immediata, perché per quanto detto fin qui significa fare qualcosa del tipo (axc) / (bxc) = (a/b) x (c/c) = (a/b) x 1 = a/b.
Osservazione 3. L'osservazione 2 può usarsi anche al contrario, per, come si dice, "semplificare" una frazione o ridurla ai "minimi termini". Significa cioè stavolta dividere, numeratore e denominatore per uno stesso numero (ovviamente diverso da zero), in modo da ottenere una frazione in cui numeratore e denominatore non hanno più divisori comuni. In questo caso si dice che numeratore e denominatore sono "primi fra loro" (da non confondere con i numeri primi). Ad esempio se ho la frazione 156/48 si vede subito che entrambi i termini sono divisibili per 3 ottenendo la frazione 52/16, che sono ancora divisibili per 2 ottenendo 26/8 e poi ancora 13/4. Ora 4 e 13 non hanno più divisori comuni, pertanto 4 e 13 sono primi tra loro e possiamo dire che la frazione 156/48, diventando 13/4, è stata ridotta ai minimi termini.

- Somma di frazioni. Al solito sommare significa "aggiungere". Se a una fetta di una torta divisa in 4 parti ne aggiungo un'altra, allora avrò 2 fette di quelle 4. E quindi 1/4 + 1/4 = 2/4. Come si vede basta dunque sommare i numeratori e lasciare invariato il denominatore. Ma questo vale se le due frazioni hanno lo stesso denominatore. E se sono diversi? Nessun problema: per l'osservazione 2 nessuno ci vieta di moltiplicare le frazioni in modo tale da ridurle allo stesso denominatore. Ad esempio supponiamo di voler fare la somma 7/4 + 5/6. Queste due frazioni non hanno lo stesso denominatore, ma se moltiplico per 3 numeratore e denominatore della prima frazione ottengo 21/12 (che è sempre 7/4 sotto "mentite spoglie"), mentre se moltiplico per 2 numeratore e denominatore della seconda ottengo 10/12 (che è 5/6). Queste due nuove frazioni sono quindi esattamente equivalenti alle prime due, ma ora hanno lo stesso denominatore e possiamo finalmente sommarne i numeratori, ottenendo 7/4 + 5/6 = 21/12 + 10/12 = 31/12. Nella pratica di solito conviene prendere il mcm (minimo comune multiplo) dei denominatori.

- Differenza di frazioni. Dato che stiamo considerando rapporti di interi relativi, quando parliamo di somma parliamo di "somma algebrica", cioè tenendo conto del segno. Quindi se ad un numero positivo sommo un numero negativo è come fare la differenza tra tali numeri "pensando" il secondo numero come positivo. Cioè avevamo visto che fare 5+(-4) è la stessa cosa che fare 5-4. E fare 5-(-4) = 5+4 e così via. Così la differenza la possiamo immaginare ormai sempre come una somma, con le opportune regole dei segni.

- Divisione di frazioni. Ci chiediamo come effettuare una divisione del tipo (a/b) : (c/d) = q, che di fatto è una frazione tra due frazioni. Possiamo sfruttare la definizione stessa di quoziente, la quale ci diceva che dividere un numero (dividendo) per un altro numero (divisore) significa trovare quel numero (quoziente, q) che rimoltiplicato per il divisore mi ridà il dividendo. Quindi anche qui dovrà evidentemente essere q x (c/d) = (a/b). Ma per le varie proprietà che ormai conosciamo possiamo anche scrivere q x (c/d) = (qxc)/d = a/b. Moltiplicando tutto per d otteniamo ((qxc)/d)xd = (a/b)xd e quindi qxc = (a/b)xd. Ora invece dividiamo ambo i membri per c ottenendo (qxc)/c = (a/b) x (d/c) = q. Come si vede dividendo a/b per c/d si ottiene lo stesso quoziente che si ottiene moltiplicando a/b per (d/c) che è la frazione "capovolta" di c/d. Quindi ad esempio si può calcolare (2/5) : (6/7) = (2/5) x (7/6) = 14/30 = 7/15. La divisione tra frazioni si riconduce semplicemente ad una moltiplicazione tra la prima frazione per la reciproca della seconda. Due frazioni si dicono reciproche quando il loro prodotto, evidentemente, è uguale a 1. Infatti (a/b) x (b/a) = (ab) / (ba) = 1. Ricordiamo che invece l'inverso di un numero è lo stesso numero cambiato di segno.

- Potenze di frazioni. Come sappiamo la definizione di potenza (con esponente intero "n", il caso visto fin qui) ci dice di moltiplicare un numero "a" per un certo numero di volte e questo fatto lo indichiamo con an. Nel caso delle frazioni sarà lo stesso e diremo che (a/b)n = (a/b)x(a/b)x(a/b)... n volte. Osserviamo subito che per come avviene la moltiplicazione delle frazioni evidentemente si può anche dire che (a/b)n = an/bn, visto che si hanno le moltiplicazioni "n" volte di a ed "n" volte di b.

Tutti i discorsi fatti sopra valgono usando anche i numeri razionali negativi e facilmente si vede che valgono ancora le varie proprietà delle operazioni aritmetiche.

Frazioni decimali e numeri con la virgola

Arrivati a questo punto possiamo chiederci: ma quanto vale una frazione? Perché se scriviamo a/b stiamo di fatto dividendo a per b, senza però eseguirla ancora la divisione, che sarà pari a un certo quoziente "q" + un certo resto "r" (perché evidentemente in generale "b" non "entrerà" in "a" un numero intero di volte). Quindi intanto quando si esegue una divisione si ha sempre una situazione del tipo:

a / b = q + r, con r pari a zero oppure no, secondo se a è divisibile esattamente per b oppure no.
 
Osserviamo ora attentamente una cosa: supponiamo di voler eseguire 7/8. E' chiaro che l'8 nel 7 non ci sta neanche una volta e quindi ci "sta" 0 volte. Pertanto q = 0. E' chiaro anche che ci sarà però un resto non nullo, cioè 7/8 = 0 + r. Proviamo ora a fare 0 + 8/10 + 7/100 + 5/1000. Questa somma sappiamo calcolarla, trasformando tutte le frazioni in modo da avere tutte lo stesso denominatore. Si ha 0 + 8/10 + 7/100 + 5/1000 = 0 + 800/1000 + 70/1000 + 5/1000 = (0+800+70+5)/(1000) = 875/1000. Riduciamola ai minimi termini dividendo successivamente per 5 numeratore e denominatore: 875/1000 = 175/200 = 35/40 = 7/8, cioè proprio la nostra frazione! Si conviene scrivere come "0 virgola qualcosa" le successive divisioni di potenze di 10, cioè, si conviene di scrivere 1/10 con il simbolo 0,1 poi 1/100 con 0,01 e così via (è dunque una convenzione! Comoda, ma una convenzione!) In questo modo il nostro 7/8 diventa pari a 0 + 8x0,1 + 7x0,01 + 5x0,001 = 0 + 0,8 + 0,07 + 0,005 = 0,875.
Così facendo ad esempio 3,625 = 3625/1000 = 3 + 6/10 + 2/100 + 5/1000, cioè 3 parti intere + 6/10 di parte intera + 2/100 di parte intera + 5/1000 di parte intera. In definitiva, un numero con la virgola equivale ad una somma fra un intero e una o più frazioni aventi a denominatore 10, 100, 1000, ecc. e come sappiamo il numero rappresentato dalle cifre a destra della virgola si chiama parte decimale (quella a sinistra parte intera).
Curiosità: la convenzione di rappresentare le frazioni con i numeri decimali, cioè quello ad esempio di porre 728/100 = 7,28 risale al 1600 circa.

Osservazione 4. La proprietà invariantiva delle frazioni ci diceva che ad esempio 39/100 = 390/1000 = 3900/10000 sono la stessa frazione. Ma allora se al posto di queste frazioni scriviamo i corrispondenti numeri decimali si ha che 0,39 = 0,390 = 0,3900. Da qui la nota proprietà secondo la quale un numero decimale non cambia valore se alla sua destra si scrive (o sopprime) uno o più zeri.
Osservazione 5. Se facciamo (87/100)x10 = 87/10, il che corrisponde a dire che 0,87x10 = 8,7. Che ci ricorda l'altra nota proprietà dello spostamento della virgola verso destra (sinistra) quando si moltiplica (divide) per 10, 100, 1000, ecc.
Osservazione 6. Per vedere come si svolgono le 4 operazioni e le potenze effettuate con i numeri decimali, basta seguire quello che succede con le corrispondenti frazioni. Ad esempio: 53,82x9,3 = (5382/100)x(93/10) = (5382x93)/(100x10) = 500526/1000 = 500,526.
Osservazione 7. In queste ultime considerazioni stiamo dando per scontato l'uso della numerazione nel cosiddetto sistema decimale posizionale. "Decimale" perché il sistema è basato sull'uso di dieci simboli "base" detti "cifre", ovvero 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, con la convenzione di chiamare l'1 unità semplice o del 1° ordine, il numero successivo al 9 si chiama "dieci", si indica col simbolo "10" e si considera come una nuova unità, chiamata decina o unità del 2° ordine. Dieci decine costituiscono una nuova unità, chiamata centinaia o unità del 3° ordine, così come dieci centinaia saranno una nuova unità chiamata migliaia o unità del 4° ordine e così via. E' per questo che si dice che dieci è la base del sistema di numerazione decimale. Così procedendo ad esempio ogni numero naturale può essere espresso come somma delle sue unità, decine, centinaia, ecc. Ad esempio il numero "trecentoventiquattro" si chiama così in quanto contiene 3 centinaia, 2 decine e 4 unità e questo fatto lo si esprime sinteticamente scrivendo semplicemente il simbolo "324". E così si vede anche l'importanza della posizione (da cui il termine "posizionale") delle varie cifre che a seconda del posto che occupano rappresentano le unità nei vari ordini. Ordini che come abbiamo visto più sopra abbiamo fatto "proseguire" anche per i numeri con la virgola parlando di divisione di potenze di 10, ottenendo i decimi, i centesimi, i millesimi, ecc.
Queste definizioni ci permettono anche di esprimere i numeri sotto forma polinomiale. Prendiamo ad esempio il numero 7956: qui ci sono 7 migliaia + 9 centinaia + 5 decine + 6 unità. Ma 7 migliaia significano 7x1000 = 7x103 unità semplici, 9 centinaia = 9x100 = 9x102 unità semplici, 5 decine = 5x10 unità semplici + 6 unità semplici. Cioè: 7956 = 7x103 + 9x102 + 5x10 + 6. Allo stesso modo 57034 = 5x104 + 7x103 + 0x102 + 3x10 + 4. Il "vero" numero è la forma polinomiale! Il simbolo "57034" è solo un modo più comodo e abbreviato di sottintendere le potenze del 10 ed i segni di addizione e moltiplicazione.
Osservazione 8. Le frazioni usate in questo paragrafo per esprimere numeri decimali sono tutte frazioni al cui denominatore ci sono potenze di 10. Sono quelle che vengono chiamate frazioni decimali. Poi ci sono alcune frazioni che non sembrano frazioni decimali, ma che in realtà si possono trasformare in frazioni decimali. Ad esempio per la frazione 7/8, una delle frazioni viste prima, possiamo moltiplicare numeratore e denominatore per 125 ottenendo la nuova, ma equivalente, frazione: 875/1000. Come si vede al denominatore siamo riusciti ad ottenere una potenza di 10 e quindi 7/8 è una frazione decimale. Quando tutto ciò accade, la frazione si può sempre eseguire scomponendola in una divisione che prima o poi darà resto zero, proprio grazie al "giochino" delle frazioni con potenze di 10. Ma ciò, evidentemente, non è sempre possibile. Vediamo perché e cosa succede nel prossimo paragrafo.

Frazioni non decimali e numeri con la virgola

Per trasformare una frazione in frazione decimale dobbiamo, come visto, riuscire ad avere al denominatore una potenza di 10. Evidentemente per ottenere questo al denominatore dev'esserci un sottomultiplo di una potenza di 10 (perché la potenza di 10 la otteniamo, appunto, moltiplicando i termini della frazione per un numero tale che, moltiplicato per il denominatore, ci dia come risultato al denominatore una potenza di 10). Ora, sappiamo benissimo che 10 = 2x5 e non c'è altro modo per ottenerlo tramite moltiplicazioni di interi (escluso il caso banale 1x10 che però non "scompone" il 10). Quindi 102 = (2x5)2 = 22x52, 1002 = (2x5)3 = 23x53 e così via. Le varie potenze del 10 hanno come divisori primi soltanto 2 e 5 e quindi solo i denominatori che sono scomponibili in soli multipli dei numeri primi 2 e/o 5 possono "candidarsi" a diventare potenze di 10. Ad esempio la frazione 3/7 non può trasformarsi in frazione decimale, perché 7 non è divisibile né per 2, né per 5, né tantomeno per le loro potenze e quindi nessuna potenza di 10 potrà essere divisibile per 7. La frazione 7/8 lo era perché 8 è scomponibile in sole potenze di 2, che è uno dei divisori (primo) delle potenze di 10.

Chiarito questo, cosa succede ai numeri quando a questi non possiamo far corrispondere le frazioni decimali? Detto in altri termini: le frazioni non decimali a quali numeri danno luogo? In questo caso la divisione del numeratore per il denominatore non sarà mai esatta, per quanto si continui, perché se ciò accadesse si avrebbe un quoziente esatto e la frazione data sarebbe uguale ad un numero decimale, cioè a una frazione decimale, contro l'ipotesi fatta di avere a che fare con una frazione non decimale. Si avrà allora per forza un quoziente con un simbolo decimale che non può avere termine, cioè avrà infinite cifre. Queste infinite cifre hanno però una distribuzione che contiene delle "regolarità". Questo perché eseguendo la divisione (con le regole classiche di come si esegue una divisione) scopriamo che a un certo punto certi resti e quozienti parziali si ripetono continuamente, all'infinito. Ed è proprio il motivo per cui la divisione non riesce a terminare. Questa "ripetitività" dà luogo ai cosiddetti numeri decimali periodici dove la cifra o il gruppo di cifre che si ripetono all'infinito si dice periodo. Se il periodo inizia subito dopo la virgola il numero si dice periodico semplice, altrimenti periodico misto e il gruppo di cifre decimali che precede il periodo si chiama antiperiodo. In genere la parte periodica viene indicata con i numeri del gruppo soprasegnati. Ad esempio 1/3 = 0,33333333333... = 0,3 dove 3 è il periodo. Oppure 347/33 = 10,51515151... = 10,51 dove qui è 51 il periodo. Invece 5/12 = 0,4166666... = 0,416 e allora 6 sarà il periodo, mentre 41 l'antiperiodo. Notiamo in tutte queste frazioni che nessuna ha un denominatore che possa essere un sottomultiplo di sole potenze di 2 e/o 5 (e quindi di 10...). Le frazioni di questo tipo si chiamano frazioni generatrici del numero decimale periodico.
Come si ricava la frazione generatrice di un numero decimale periodico? Ci sono due regole, una per il periodico semplice e l'altra per il periodico misto.
- Frazione generatrice di un numero periodico semplice. E' una frazione in cui al numeratore mettiamo la differenza tra il numero stesso (senza la virgola e con il periodo preso una sola volta) ed il numero formato dalle cifre della parte intera. Al denominatore mettiamo tanti 9 quante sono le cifre del periodo. Ad esempio, prendendo il numero 5,21 si ha: (521-5)/99 = 516/99 = 172/33.
Perché questa regola funziona? Facciamolo vedere con un esempio. Poniamo x = 1,3 e moltiplichiamo ambo i membri per 10. Si ha: 10x = 13,3 perché non dobbiamo fare altro che spostare la vorgola di un posto verso destra, come sappiamo. Notiamo che si mantiene lo stesso periodo! Ora, facciamo la sottrazione membro a membro, cioè facciamo 10x - x = 13,3 - 1,3 = 9x. Osserviamo che essendo la parte periodica infinita, possiamo dire che i due numeri hanno la stessa parte decimale e quindi nel fare la differenza questa si compensa, si annulla. Cioè abbiamo 9x = 13,3 - 1,3 = 12 da cui x = 12/9 = 4/3. Se proviamo ad eseguire la divisione 4/3 scopriamo che viene proprio 1,33333333... = 1,3. Come si vede queste operazioni fatte evidenziano la regola enunciata (al numeratore c'è un 13-1 e al denominatore un 9...). Il trucco è di arrivare ad eseguire una sottrazione fra due numeri con la stessa parte decimale.
- Frazione generatrice di un numero periodico mistoE' una frazione in cui al numeratore mettiamo la differenza tra il numero stesso (senza la virgola e con il periodo preso una sola volta) ed il numero formato dalle cifre della parte intera seguita da quelle dell'antiperiodo. Al denominatore mettiamo tanti 9 quante sono le cifre del periodo, seguiti da tanti zeri quante sono le cifre dell'antiperiodo. Ad esempio, prendendo il numero 2,634 si ha: (2634-26)/990 = 2608/990 = 1304/495.
Si opera in modo simile è solo un po' più laborioso perché essendoci l'antiperiodo occorre prima moltiplicare per una potenza di 10 in modo da ricondurci a un periodico semplice, per poi procedere come fatto prima. Si vedrà che tale procedura introdurrà al denominatore dei 9 e degli zeri. Facciamolo vedere proprio con il numero dell'esempio e poniamo x = 2,634. Per "eliminare" l'antiperiodo dobbiamo moltiplicare per 10, ottenendo 10x = 26,34. Poi dobbiamo rimoltiplicare per 100 in modo da avere un numero che contenga il periodo nella parte intera. Quindi in totale facciamo 1000x = 2634,34. Ora 1000x - 10x = 2634,34 - 26,34 = 2608 = 990x, da cui x = 2608/990...

Pensate sia finita qui? No, perché tutti i numeri fin qui visti sono i numeri interi, i numeri relativi (interi con segno), i numeri razionali (rapporto, con segno, tra interi relativi). In particolare i numeri razionali possono dar luogo a numeri decimali non periodici (ma con un numero finito di cifre dopo la virgola), periodici semplici e periodici misti. Ma esistono anche numeri decimali non periodici con un infinito numero di cifre dopo la virgola. Questi numeri non sono esprimibili tramite rapporti di numeri interi, quindi non sono numeri razionali ed è per questo che si chiamano "irrazionali". Saranno l'oggetto del prossimo articolo...