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Pillole di Matematica: numeri interi relativi e calcolo algebrico

Pillole di Matematica: numeri interi relativi e nascita del calcolo algebrico

I numeri interi relativi o con segnoNel capitolo di introduzione sui numeri interi ne abbiamo giustificato l'esistenza e abbiamo parlato del perché le operazioni aritmetiche si definiscono in un certo modo.

Poi il far di conto nella maniera spiegata ci porta a scoprire alcune proprietà dell'addizione di numeri interi:
- Commutativa. Ricordando che la somma è l'unione di due o più insiemi è evidente che non importa con quale ordine si "aggiungono" oggetti. Pertanto a+b = b+a.
La sottrazione NON gode di questa proprietà: ad esempio 7-3 è diverso da 3-7 (oltre al fatto che nel solo campo dei numeri interi 3-7 non ha soluzione).
- Associativa e dissociativa. E ancora evidente che se abbiamo più insiemi di oggetti che vogliamo sommare (unire) non importa con quali "raggruppamenti" li prendiamo, cioè ad esempio (a+b)+c = a+(b+c) = a+b+c. Sommare prima a e b per poi sommare il risultato a c, oppure sommare prima b e c per poi sommare il tutto ad a o viceversa è la stessa cosa. Così come togliere tutti i raggruppamenti e lasciare ogni termine "da solo".
La sottrazione NON gode di queste proprietà. Ad esempio (10-7)-1 = 2, mentre 10-(7-1) = 4.
Però gode della proprietà invariantiva, cioè se a una sottrazione aggiungiamo o togliamo un numero ad entrambi i termini, non cambia il risultato. Ad esempio: 43-17 = (43+5)-(17+5) = 48-22 = 26.

Allo stesso modo si scoprono alcune proprietà della moltiplicazione di numeri interi:
- Commutativa. Se si fa axb come sappiamo a livello "primitivo" significa prendere "a" per "b" volte, il che è lo stesso che prendere "b" per "a" volte. Ad esempio 5x3 = 5+5+5, mentre 3x5 = 3+3+3+3+3 il che fa sempre 15. Pertanto axb = bxa.
La divisione NON gode di questa proprietà. Infatti ad esempio 6:2 è diverso da 2:6 (oltre al fatto che nel solo campo dei numeri interi 2:6 non ha soluzione).
- Associativa e dissociativa. Il prodotto non è altro che una somma "estesa" e quindi anche qui prendere i fattori a gruppi oppure no è lo stesso. Ad esempio (3x5)x2 = prendere il 3 5 volte e quello che viene 2 volte = (3+3+3+3+3)+(3+3+3+3+3) = 30. Se ora facciamo 3x(5x2) = prendere il 3 per (5x2) volte, cioè per 2 volte 5 = 3x(5+5) = 3x10 = 10 volte 3 = 30.
La divisione NON gode di questa proprietà. Infatti, ad esempio, (48:8):2 = 6:2 = 3, mentre 48:(8:2) = 48:4 = 12.
Però gode della proprietà invariantiva. Cioè, in una divisione è possibile moltiplicare o dividere per uno stesso numero(purché come sappiamo diverso da 0) entrambi i termini (dividendo e divisore) e il risultato non cambierà. Ad esempio: 20:5 = (20x3):(5x3) = 60:15 = 4.
- Distributiva del prodotto rispetto alla somma. Si ha, ad esempio: ax(b+c+d) = ab+ac+ad (ricordiamo che possiamo sottintendere il segno del prodotto), cioè possiamo "distribuire" il prodotto su una somma di prodotti tra il numero dato e i termini della somma. Infatti, ad esempio, se ho due fruttiere, in ciascuna delle quali ho 3 mele, 2 pere e 7 pesche posso o prima contare tutta la frutta di una fruttiera (3+2+7) e poi moltiplicare per 2 (ottenendo 24) oppure dico che ho in totale 3x2 mele + 2x2 pere + 7x2 pesche che fa ancora 24. La proprietà vale in generale per più somme, cioè ad esempio (a+b)(c+d+e) = ac+ad+ae+bc+bd+be.
- Distributiva del quoziente rispetto alla somma:quando si deve dividere una somma per un numero,è possibile dividere per quel numero ciascun addendo della somma,poi addizionare i quozienti parziali così ottenuti. Ad esempio: (15+21+36):3 = 15:3+21:3+36:3 = 5+7+12 = 24.

Legge di annullamento del prodotto: se almeno uno dei fattori di un prodotto è 0, allora il prodotto vale 0; viceversa, se un prodotto è uguale a 0, allora sarà uguale a 0 almeno uno dei fattori.

A questo punto possiamo accorgerci che il far di conto può non coinvolgere solo numeri interi naturali, cioè i numeri che vanno da 0 a infinito: 0,1,2,3,4,5,6,7, ... e così via. Esistono quantità o entità che possono essere espressi anche da numeri che, in qualche modo, possono andare "sottozero". Ad esempio se definiamo "0" la temperatura alla quale l'acqua gela, sappiamo benissimo che può fare sia più caldo che più freddo di questo "zero" e quindi andare sopra o sotto. Poi: è vero che i numeri interi naturali li abbiamo creati per enumerare oggetti e che quindi dire che ho 3 mele ha senso, mentre dire che ho "-3" mele no, ma possiamo sempre associare al simbolo "-3" il fatto che mi "mancano" 3 mele. E ancora, pensiamo ai crediti e ai debiti: possiamo sì dire che sono in debito o in credito di 100 euro, ma può essere conveniente scrivere +100 euro se sono in credito e -100 euro se sono in debito e così via.

Ecco che convenientemente viene introdotto un altro insieme di numeri, esattamente simmetrico, rispetto allo zero, degli interi naturali, cosicché ora ho i numeri 1,2,3,4,5,6,7, ... che definisco positivi e i numeri ... , -7,-6,-5,-4,-3,-2,-1 che definisco negativi. Come descritto, anche questi ultimi possono descrivere delle quantità o delle entità (temperature negative, debiti, oggetti "mancanti" e così via). L'insieme di tutti i numeri interi (positivi, negativi e lo zero) viene chiamato insieme dei numeri interi relativi e si indicano con Z.

Come diventano ora le 4 operazioni dell'aritmetica? Dovranno funzionare in modo tale che le cose "tornino", anche usando numeri con segno (e si parlerà di operazioni algebriche), cercando di non confondere i segni "+" e "-" della somma e della differenza, con i segni "+" e "-" che invece indicano rispettivamente numeri positivi e negativi. A tal fine inizialmente metteremo i numeri tra parentesi, per poi scoprire come farne a meno. Definiremo anche numero assoluto quel numero privato del segno. Mentalmente può anche essere utile immaginare i numeri distribuiti su una retta, con lo zero che fa da "spartiacque" tra quelli negativi e quelli positivi, per poi contare i vari "passi" necessari andando avanti o indietro all'occorrenza.
Vediamo la Somma. Ad esempio:
E' chiaro che se ho un credito di (+750) e un altro credito di (+180) avrò in totale un credito di (+750)+(+180) = +930.
E' chiaro che se ho un debito di (-750) e un altro debito di (-180) avrò in totale un debito di (-750)+(-180) = -930.
E' chiaro che se ho un credito di (+750) e un debito di (-180) avrò in totale un credito di (+750)+(-180) = +570.
E' chiaro che se ho un debito di (-750) e un credito di (+180) avrò in totale un debito di (-750)+(+180) = -570.
E' chiaro che se ho un credito di (+750) e un debito di (-750), cioè come si dice, i due numeri sono opposti e sarò in pareggio, allora avrò zero.
Si vede quindi che la somma di due numeri interi relativi di egual segno è quel numero che ha per valore assoluto la somma dei valori assoluti dei due numeri e, per segno, lo stesso loro segno. La somma di due numeri interi relativi di segno contrario e non opposti, è quel numero che ha per valore assoluto la differenza dei valori assoluti dei due numeri e, per segno, il segno di quello più grande in valore assoluto. La somma di due numeri opposti è zero. Con la somma così definita valgono ancora le proprietà commutativa e associativa dell'addizione, che possono usarsi come conviene.

Vediamo ora la sottrazione. Anche in questo caso evidentemente sottrarre significa fare l'inverso dell'addizione. Quindi definiamo a-b = c qualora fosse stato c+b = a. Esempi: (+9)-(-3) significherà trovare quel numero che, addizionato a (-3) dia (+9). Contando i "passi" interi necessari per andare da (-3) a (+9) scopriamo che contiamo 12 passi dalla sinistra dello zero verso destra, quindi il risultato è (+12). Facciamo ora (+15)-(+21). Questa volta dobbiamo partire da 15 per poi contare 21 passi all'indietro, per trovarci su (-6). Infatti (-6) è quel numero che, risommato a (+21) mi ridà (+15).
Perciò possiamo dire che per sottrarre da un numero relativo un altro numero relativo basta addizionare al minuendo l'opposto del sottraendo. Potrebbe sembrare strano che con i numeri relativi sottrarre a volte porti a un numero più grande. Ma in realtà tutto torna perfettamente. Ad esempio, se tizio è nato 15 anni prima di Cristo (-15) mentre caio è nato 50 anni dopo Cristo (+50), quanti anni sono trascorsi tra le due nascite? Evidentemente 65 e infatti: (+50)-(-15) = (+50)+(+15) = 65 (al minuendo si somma, come detto, l'opposto del sottraendo). Peraltro come vediamo ora la sottrazione è un'operazione sempre possibile, a differenza del caso dei soli numeri interi naturali (o assoluti).

E la moltiplicazione? Sfruttiamo lo stesso sistema visto per i numeri interi assoluti. Se diciamo (+5)x(+3) come sappiamo stiamo dicendo di prendere +3 volte il +5, cioè +5+5+5 = +15, che è il caso degli interi assoluti. Se diciamo (-5)x(+3) stiamo chiedendo di prendere +3 volte "-5" e quindi (-5)+(-5)+(-5) = -15. Certo ora però dire che (+5)x(-3) significa prendere il +5 "-3" volte non ha molto senso. Ma se vogliamo che valga ancora la proprietà commutativa allora (+5)x(-3) dev'essere uguale a (-3)x(+5) che significa prendere -3 per 5 volte, cioè (-3)+(-3)+(-3)+(-3)+(-3) = -15. Resta il caso "-" x "-", ad esempio (-5)x(-3). Beh, se vogliamo che valga ancora la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma "meno per meno" DEVE fare "più".
Può sembrare strano ma è proprio la ragione del perché "meno per meno" = "più". Se calcoliamo [(+7)+(-5)]x(-3) = (+2)x(-3) = -6. Ora, se applicassimo la proprietà distributiva supponendo, ad esempio, che "meno per meno" faccia "meno" si otterrebbe: (+7)x(-3)+(-5)x(-3) = (-21)+(-15) = -36 e come si vede i conti NON TORNANO! Se invece "meno per meno" = "più" allora si ha (-21)+(+15) = -6, come dev'essere! Quindi il prodotto di due interi relativi, diversi da zero, è quel numero che ha per valore assoluto il prodotto dei valori assoluti dei due numeri dati, ed è positivo o negativo, secondo che i due numeri hanno segni eguali o contrari rispettivamente. Come nel caso dei numeri assoluti si vede che il prodotto di un qualsiasi numero intero relativo per zero = 0.

Per la divisione, si mantiene il significato di fare l'inverso della moltiplicazione e cioè di definire a:b = c qualora sia cxb = a. Ancora una volta dividere a per b (ovviamente diverso da zero, come sappiamo!) non significa altro che trovare quel numero c che rimoltiplicato per b dia di nuovo a. Naturalmente il tutto con le regole del prodotto viste prima.

Certo è una notazione un po' scomoda quella di usare tutti questi segni e parentesi. Cerchiamo di semplificare. Intanto i numeri positivi come abbiamo visto coincidono con quelli assoluti e quindi ad esempio +4 possiamo scriverlo semplicemente 4. Quindi per le somme si possono togliere parentesi e segni + dei numeri. Ad esempio (+2)+(-5)+(+7)+(-4)-(-8) diventa semplicemente 2-5+7-4+8, perché laddove sommo metto il "-" solo se il numero è negativo, altrimenti lascio il "+", mentre laddove sottraggo farò la somma dell'opposto. Stessa regola per togliere le parentesi di una somma "estesa", come +9+(+4-5+3-7) = 9+4-5+3-7 oppure +9-(+4-5+3-7) = 9-4+5-3+7, cioè se prima della parentesi c'è il più, tolgo le parentesi e resta tutto invariato, se c'è il meno tolgo le parentesi e cambio segno ai termini della somma algebrica che stava dentro parentesi.
Infine notiamo che moltiplicare per "-1" non fa altro che cambiare segno al numero dato, quindi (-1)x4 = -4 e (-1)x(-4) = 4. Quindi l'elemento neutro della moltiplicazione resta il numero +1, cioè 1.

Potenze dei numeri interi relativi

Così come abbiamo definito il prodotto come il prendere un certo numero di volte un altro numero, si dice invece potenza di un dato numero intero relativo ogni prodotto di fattori tutti uguali a quel numero. Quindi ad esempio 52 = 5x5 = 25, 73 = 7x7x7 = 343, 116 = 11x11x11x11x11x11 = 1771561, -32 = (-3)x(-3) = 9, -33 = (-3)x(-3)x(-3) = -27, e così via. In generale an, dove a si chiama base, mentre n si chiama esponente della potenza. Si può dire che ogni potenza di base positiva è sempre positiva, mentre una potenza di base negativa è positiva o negativa a secondo che l'esponente è pari o dispari.
Possiamo poi definire a1 = a, perché prendo "a" una volta sola; notiamo per inciso che dunque per qualunque numero senza esponente si può sempre sottintendere che l'esponente ci sia e sia pari a 1.
Inoltre si definisce a0 = 1, mentre il simbolo 00 non ha significato e tra poco vedremo perché.

Proprietà delle potenze (ci perdoneranno i "puristi" se per facilità di comprensione alcune "dimostrazioni" non saranno così rigorose):
1) anxam = an+m infatti, anxam significa fare (axaxaxaxaxa... n volte) x (axaxaxaxaxa... m volte) = (axaxaxaxaxaxaxa... n+m volte). Dato che a1 = a e abbiamo definito a0 = 1, tale proprietà vale anche per n = 0 e/o m = 0, oppure n = 1 ed m qualsiasi.
2) an:am = an-m infatti, per definizione di quoziente e per la 1) si ha che an-mxam = a(n-m)+m = an. In particolare senz'altro vogliamo che an:an = 1, perché la divisione tra due numeri uguali è pari a 1. Ma an:an = an-n = a0. E anche questo è il motivo per cui avevamo definito a0 = 1.
3) (an)m = anm infatti, evidentemente per definizione (an)m = anxanxan ... m volte.
4) (abc)n = anbncn infatti, (abc)n = (abc)x(abc)x(abc)x... n volte = applicando la proprietà commutativa della moltiplicazione (axaxaxaxa... n volte)x(bxbxbxbxb... n volte)x(cxcxcxcxc... n volte) = anbncn.
5) (a:b)n = an:bn infatti, a:b = ad un certo quoziente q e quindi sarà anche bq = a, elevando tutto ad n si ha (bq)n = an = bnqn, ma allora possiamo dire che an:bn = qn = (a:b)n, perché era a:b = q.

Osservazione: in questi teoremi/proprietà abbiamo implicitamente usato esponenti nulli o positivi, ma si dimostra che il tutto vale anche per esponenti negativi. Dobbiamo però capire cosa significa elevare una base per una potenza intera negativa, cioè che cosa significa fare a-n, il che può ad esempio capitare se dovessimo calcolare a3:a5 = a3-5 = a-2. Ebbene, notiamo che se dividiamo, dividendo e divisore, per a3, evidentemente si avrà a3:a5 = 1:a2 e quindi si osserva che dobbiamo definire 1:a2 = a-2. Pertanto si definisce:
6) a-n = 1/an, con n positivo (quindi -n negativo) ed a diverso da zero (perché al solito non possiamo dividere per zero).
7) 00 come detto non ha significato, perché dà luogo a una forma indeterminata. Sappiamo ad esempio che 40 = 1, 30 = 1, 20 = 1, 10 = 1. Verrebbe allora da dire anche 00 = 1. Tuttavia, sappiamo anche che 04 = 0, 03 = 0, 02 = 0, 01 = 0 e allora perché non anche 00 = 0? Insomma si vede che entrambe le situazioni potrebbero essere corrette, ma questo ci porta ad avere un'ambiguità. 

Prima di concludere osserviamo il fatto che in fondo, un numero, è un'entità astratta che serve per quantificare oggetti o altro. Quindi ora possiamo dare una definizione generale di numero: sia dato un insieme di enti, di natura qualsiasi; questi enti sono chiamati numeri, quando per essi si possono definire le 4 operazioni fondamentali in modo che valgano le consuete proprietà formali. Le proprietà formali altri non sono che la proprietà commutativa e associativa dell'addizione e della moltiplicazione, la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione e così via. Pertanto non sorprenderà, anche per questo motivo, come nel tempo sia stato necessario introdurre altri tipi di "numeri", astratti quanto si vuole, ma che però nascono da esigenze molto concrete. Come nel caso (ma non solo) delle frazioni, cioè dei numeri razionali, quei numeri dati dal rapporto tra numeri interi relativi (quindi con segno)...